Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss

El príncipe de las matemáticas

Brunswick, el 30 de abril de 1777- Marzo 1855.

Gauss es sin duda uno de los tres genios de la historia de las Matemáticas. Sus aportaciones en todos los campos matemáticos fueron increíbles, aunque algunos de sus descubrimientos tuvieran que esperar más de un siglo para ser valorados debidamente.

La curva de distribución normal o “Campana de Gauss”

La distribución normal es una distribución de probabilidad de variable continua que describe los datos que se agrupan en torno a un valor central. Todo proceso en el que solo existan causas aleatorias de variación sigue una ley de distribución normal. Esta condición que aparece con frecuencia en fenómenos naturales (de ahí que se la denomine “normal”), puede obtenerse en los procesos industriales si los procesos se llevan a un esta do en el que solo existen causas comunes de variación. La representación gráfica es la curva de distribución normal también denominada campana de Gauss en honor del renombrado científico alemán Carl Friedrich Gauss a quien se le atribuye erróneamente su invención pero que sin duda la usó frecuentemente para analizar fenómenos astronómicos con éxito.


Una distribución normal se caracteriza por:

1. Los valores de las mediciones tienden a agruparse alrededor de un punto central, la media

2. La representación de los datos es simétrica a ambos lados de la media

3. Las desviaciones estándares quedan situadas a igual distancia unas de otras

4. La proporción de mediciones situada entre la media y las desviaciones es una constante en la que:

     La media ± 1 * desviación estándar = cubre el 68,3% de los casos
     La media ± 2 * desviación estándar = cubre el 95,5% de los casos
     La media ± 3 * desviación estándar = cubre el 99,7% de los casos

Podemos analizar el comportamiento de los procesos gráficos y determinar su efectividad tomando como base su grado de aproximación a la curva de distribución normal a partir de los datos generados y la creación de histogramas que permitan la comparación con  curva de distribución normal.

Posibilidades:
La curva de distribución normal del proceso coincide o está dentro de los límites establecidos por la industria (bien en las normas de calidad desarrolladas o bien en las recomendaciones establecidas por las asociaciones). En este caso el proceso opera con eficacia y se pueden realizar trabajos de alta exigencia con respecto a la variable controlada.

La curva de distribución supera los límites establecidos por la industria. En este caso puede que estén operando causas asignables de variación o que existen limitaciones debidas a los recursos y equipos empleados por lo que no es posible realizar trabajos exigentes con respecto a la variable controlada hasta que no se hayan eliminado las causas especiales de variación o no se dispongan de los recursos y equipos adecuados.

El histograma generado no muestra las características básicas de una distribución normal. En este caso están claramente actuando causas asignables de variación que habrá que resolver si queremos conseguir un alto grado de fiabilidad del proceso y realizar trabajos de alta exigencia.

El concepto de capacidad, hablando de proceso, se refiere a la anchura de la campana de Gauss que lo caracteriza. En un estudio de capacidad (capability study), se compara la anchura de la distribución normal obtenida (lo que llamamos la Voz del Proceso) con los límites de tolerancias (la Voz del Cliente).

Tradicionalmente se define la capacidad de proceso como la distancia de 3 veces sigma de cada lado de la media. Por lo tanto, corresponde a un valor igual a 6 veces la desviación estándar. En algunos casos, se quiere abarcar más anchura de la campana por lo que se lleva a incluir hasta 6 veces la distancia sigma de cada lado (un total de 12 sigmas).

La formula del índice de capacidad Cp, como indicador de calidad, es la siguiente:

(Limite superior de tolerancia – Limite inferior de tolerancia)/6 sigma

Queremos que nuestro proceso sea capaz de operar dentro de los limites de especificaciones (requerimientos del cliente) por lo que el valor obtenido con la formula debe ser grande (por lo menos superior a 1).

Claro está que un proceso capaz (Cp >>1) podría generar defectos en caso de que esté descentrado. Es la razón por la cual se asocia el índice Cpk al del Cp.

La formula de cálculo del Cpk es la siguiente:

Se calcula un indicador del lado superior: (limite superior – media)/3 sigma
Se calcula un indicador del lado inferior: (media – limite inferior)/3 sigma
Se elige, como índice Cpk, el valor mínimo de estos dos indicadores calculados siendo este el caso más desfavorable (el caso en el cual la campana se acerca más del límite con el riesgo de provocar defectos)
Entendemos por las propias formulas que un proceso perfectamente centrado tendrá: Cp=Cpk.

Tenemos que tener en cuenta también que todas estas fórmulas funcionan en caso de tener unos datos que se ajustan a una distribución normal.

REFERENCIAS:

http://historiaybiografias.com/gauss/

http://jesusgarciaj.com/2010/01/22/la-curva-de-distribucion-normal/

http://www.caletec.com/blog/tag/campana-de-gauss/